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2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

x2?x（1）曲线y?2渐近线的条数为（

x?1（A）0 （2）设函数（

）

n?1） （D）3

（B）1 （C）2

，其中n为正整数，则f?(0)=f(x)?(ex?1)(e2x?2)…（enx-n）n（A）(?1)（C）(?1)(n?1)! n!

（B）(?1)

?20(n?1)!

n

n?1（D）(?1)2n!

）

（3）设函数

2f(t)连续，则二次积分?d??4?x22x?x24?x22x?x22cos?f(r2)rdr=（

（A）

??02dx?dx?x2?y2f(x2?y2)dy f(x2?y2)dy

（B）

0（C）

??20dx?14?x2?2x?x24?x2?2x?x2x2?y2f(x2?y2)dy

（D）

20dx?1f(x2?y2)dy 1nsin?n(?1)n绝对收敛，?2??条件收敛，则?范围

i?1n?（4）已知级数为（ ） （A）0

1< ??1 23

?1??0??0???1?????????（5）设?1?0,?2?1,?3??1,?4?1其中c1，c2，c3，c4为?????????c??c??c??c??1??2??4??3?任意常数，则下列向量组线性相关的是（ （A）?1，?2，?3 （C）?1，?3，?4

）

（B）?1，?2，?4 （D）?2，?3，?4

?1??1?，（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且PAP=?? ?2???-1

?1则QAQ=（ ?????????）P=（?1，?2，?3），Q=（?1+?2，?2，?3）?1??2? （A）

???1????2???

1（C）????2??（ ?｛?2+?2?1｝

?1??1? （B）

???2????2???

2（D）????1??

（7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则

）

1（A）

4

1（B）

2?（C）

82

?（D）

4（8）设X1，X2，X3，X4为来自总体N（1，?）（?本，则统计量

的简单随机样?0）X1?X2的分布（

|X3+X4-2|（B）t(1)

） （C）?2（0，1）（A）N

(1) （D）F(1,1)

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置

上.

（9）lim(tanx)x?1cosx?sinx?

4?dy?lnx,x?1（10）设函数f(x)?,y?f(f(x)),求dx??2x?1,x?1（11）函数

___________.

x?0z?(f,x满)y足limx?0y?1f(x,y)?2x?y?2x?(y?1)22?0,则

dz(0,1)?_______.

（12）由曲线

y?4和直线y?x及y?4x在第一象限中所围图形的面积为x_______.

（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________.

（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，P(AB)?11,P(C)?,则23P（??C）=_________.

三、 解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）

e?e2?2cosx计算limx?0x4计算二重积分

x2

（16）（本题满分10分）

??eDxxydxdy，其中D为由曲线y?x与y?1所围区域. x（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，

x且固定两种产品的边际成本分别为20+（万元/件）与6+y（万元/件）.

21）求生产甲乙两种产品的总成本函数C(x,y)（万元）

2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.

3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.

（18）（本题满分10分）

1?xx2证明：xln?cosx?1?,?1?x?1.

1?x2（19）（本题满分10分）已知函数及

f(x)满足方程f?(x)?f?(x)?2f(x)?0f?(x)?f(x)?2ex

f(x)

1）求表达式

2）求曲线的拐点y?f(x)?f(?t2)dt

02x（20）（本题满分10分）

?1?0设A???0??a（I）求|A|

a1000a100??1???1?0??，b??? ?0?a????1??0?（II）已知线性方程组Ax?b有无穷多解，求a，并求Ax?b的通解. (21)（本题满分10分）

?1?0已知A????1??001?11????，二次型f(x1,x2,x3)?x(??)x的秩为2， 0a??a?1?（1） 求实数a的值；

（2） 求正交变换x=Qy将f化为标准型. （3） （22）（本题满分10分）

已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示： X 0 1 P

2 1 21 31 6