高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程2圆的参数方程讲义含解析新人教A版选修

为参数)，则直线l与圆C相交所得的弦长为________．

π??解析：直线l的极坐标方程为ρsin?θ＋?＝1， 6??展开可得

31

ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x＋3y－2＝0，圆C的参22

?x＝2＋2cos θ，

数方程?

?y＝－3＋2sin θ

(θ为参数)化为普通方程为(x－2)＋(y＋3)＝4，

22

可得圆心坐标为(2，－3)，半径r＝2. 圆心C到直线l的距离d＝

|2－3－2|3＝. 2221＋(3)

2

2

∴直线l与圆C相交所得弦长＝2r－d＝2 答案：7 三、解答题

??x＝1＋4cos t，

8．将参数方程?

?y＝－2＋4sin t?

3?2?4－??＝7.

?2?

(t为参数，0≤t≤π)化为普通方程，并说明方程

表示的曲线．

??x＝1＋4cos t，

解：因为0≤t≤π，所以－3≤x≤5，－2≤y≤2.因为?

?y＝－2＋4sin t，?

2

2

2

2

2

2

所以(x－

1)＋(y＋2)＝16cost＋16sint＝16，所以曲线的普通方程为(x－1)＋(y＋2)＝16(－3≤

x≤5，－2≤y≤2)．它表示的曲线是以点(1，－2)为圆心，4为半径的上半圆．

9．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C?π?的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈?0，?.

2??

(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

解：(1)C的普通方程为(x－1)＋y＝1(0≤y≤1)．

??x＝1＋cos t，

可得C的参数方程为?

?y＝sin t?

2

2

(t为参数，0≤t≤π)．

(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为Cπ

在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝3，t＝. 3

ππ?3??3?故D的直角坐标为?1＋cos，sin?，即?，?. 33???22?

5

π??π??10．在极坐标系中，已知三点O(0,0)，A?2，?，B?22，?.

2??4??(1)求经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程；

(2)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为

??x＝－1＋acos θ，

???y＝－1＋asin θ

(θ是参数)，若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．

?π?B?22，π?对应的直角坐标分别为O(0,0)，

解：(1)O(0,0)，A?2，?，A(0,2)，B(2,2)，

2??4????

则过点O，A，B的圆的普通方程为x＋y－2x－2y＝0，将?

2

2

?x＝ρcos θ，?

??y＝ρsin θ

2

代入可求得经

π??过点O，A，B的圆C1的极坐标方程为ρ＝22cos?θ－?.

4??

?(2)圆C2：

?x＝－1＋acos θ，?

??y＝－1＋asin θ

(θ是参数)对应的普通方程为(x＋1)＋(y＋1)＝a，

22

圆心为(－1，－1)，半径为|a|，由(1)知圆C1的圆心为(1,1)，半径为2，

所以当圆C1与圆C2外切时，有2＋|a|＝(－1－1)＋(－1－1)，解得a＝±2.

2

2

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