高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程2圆的参数方程讲义含解析新人教A版选修

2．圆的参数方程

圆的参数方程

(1)在t时刻，圆周上某点M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有cos ωt＝，sin ωt＝，即圆心在原?x＝rcos ωt，?

??y＝rsin ωtxryr点O，半径为r的圆的参数方程为?质点做匀速圆周运动的时刻．

(t为参数)．其中参数t的物理意义是：

(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为

??x＝rcos θ，?

?y＝rsin θ?

(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点

O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．

??x＝x0＋Rcos θ

(3)若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为?

??y＝y0＋Rsin θ

(0≤θ＜

2π)．

求圆的参数方程 [例1] 根据下列要求，分别写出圆心在原点，半径为r的圆的参数方程． (1)在y轴左侧的半圆(不包括y轴上的点)； (2)在第四象限的圆弧．

[解] (1)由题意，圆心在原点，半径为r??x＝rcos θ，

的圆的参数方程为?

?y＝rsin θ?

(θ∈

π3π

[0,2π))，在y轴左侧半圆上点的横坐标小于零，即x＝rcos θ<0，所以有<θ<，故22

??x＝rcos θ，

其参数方程为?

?y＝rsin θ?

?θ∈?π，3π??.

??2?2?????

??x＝rcos θ>0，

(2)由题意，得?

?y＝rsin θ<0，?

3π

解得<θ<2π.故在第四象限的圆弧的参数方程为

2

1

??x＝rcos θ，?

?y＝rsin θ?

?θ∈?3π，2π??.

??2??????

(1)确定圆的参数方程，必须仔细阅读题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题易忽视θ的范围而致误．

(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．

1．已知圆的方程为x＋y＝2x，写出它的参数方程． 解：x＋y＝2x的标准方程为(x－1)＋y＝1， 设x－1＝cos θ，y＝sin θ，

??x＝1＋cos θ，

则参数方程为?

?y＝sin θ?

2

2

2

2

2

2

(0≤θ＜2π)．

??x＝cos θ，

2．已知点P(2,0)，点Q是圆?

?y＝sin θ?

上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说

明轨迹是什么曲线．

2＋cos θx＝，??2

解：设中点M(x，y)．则?0＋sin θ

y＝，??2

1

x＝1＋cos θ，??2即?1

y＝??2sin θ，

(θ为参

1

数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，为半径的圆.

2

22圆的参数方程的应用 [例2] 若x，y满足(x－1)＋(y＋2)＝4，求2x＋y的最值． [思路点拨] (x－1)＋(y＋2)＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题．

[解] 令x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ， 则有x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2，

故2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)， ∴－25≤2x＋y≤25，

即2x＋y的最大值为25，最小值为－25.

圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．

2

2

2

??x＝cos θ，

3．已知圆C?

?y＝－1＋sin θ?

与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．

解：将圆C的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a＝0，

π??即a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin?θ＋?.

4??π??∵－1≤sin?θ＋?≤1，∴1－2≤a≤1＋2.

4??故实数a的取值范围为[1－2，1＋2]．

一、选择题

??x＝2＋2cos θ，

1．已知圆的参数方程为?

??y＝2sin θ

(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )

A．(0,2) C．(－2,0) 解析：选D 将?

?x＝2＋2cos θ，?

??y＝2sin θ

B．(0，－2) D．(2,0)

化为(x－2)＋y＝4，其圆心坐标为(2,0)．

22

2．已知圆的参数方程为?的距离为( )

A．1 B.2 C．2

?x＝－1＋2cos θ，?y＝2sin θ

(θ为参数)，则圆心到直线y＝x＋3

D．22

解析：选B 圆的参数方程?

?x＝－1＋2cos θ，?y＝2sin θ

(θ为参数)化成普通方程为(x＋

1)＋y＝2，圆心(－1,0)到直线y＝x＋3的距离d＝

22

|－1＋3|

＝2，故选B. 2

??x＝a＋rcos θ，

3．若直线y＝ax＋b经过第二、三、四象限，则圆?

?y＝b＋rsin θ?

(θ为参数)的

圆心在( )

A．第四象限 C．第二象限

B．第三象限 D．第一象限

3

解析：选B 根据题意，若直线y＝ax＋b经过第二、三、四象限，则有a<0，b<0.圆的参数方程为?

??x＝a＋rcos θ，??y＝b＋rsin θ

(θ为参数)，圆心坐标为(a，b)，又由a<0，b<0，得该圆

的圆心在第三象限，故选B.

??x＝2＋cos α，4．P(x，y)是曲线?

?y＝sin α?

(α为参数)上任意一点，则(x－5)＋(y＋4)

22

的最大值为( )

A．36 C．26

B．6 D．25

解析：选A 设P(2＋cos α，sin α)，代入得， (2＋cos α－5)＋(sin α＋4)

＝25＋sinα＋cosα－6cos α＋8sin α

3??＝26＋10sin(α－φ)?其中tan φ＝?，所以其最大值为36.

4??二、填空题

5．x＝1与圆x＋y＝4的交点坐标是________． 解析：圆x＋y＝4的参数方程为?

2

22

2

2

22

2

?x＝2cos θ，?

??y＝2sin θ

(θ为参数)

13

令2cos θ＝1，得cos θ＝，∴sin θ＝±.

22∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)． 答案：(1，3)，(1，－3)

??x＝cos θ，

6．曲线?

?y＝1＋sin θ?

(θ为参数)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，则|AB|＝

________.

解析：根据题意，曲线?

?x＝cos θ，?

??y＝1＋sin θ

(θ为参数)的普通方程为x＋(y－1)＝1，

22

表示圆心坐标为(0,1)，半径r＝1的圆，

而直线的方程为x＋y－1＝0，易知圆心在直线上， 则AB为圆的直径，故|AB|＝2r＝2. 答案：2

7．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已π??x＝2＋2cos θ，?知直线l的极坐标方程为ρsin ?θ＋?＝1，圆C的参数方程为?6???y＝－3＋2sin θ

(θ

4