高三立体几何专项小练习3

高三立体几何专项小练习3

1.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ） ．．

A. AC?BD B. AC∥截面PQMN C. AC?BD D. 异面直线PM与BD所

成的角为45

? z AC

N D DP MO By BQC Ax

2.如图，已知六棱锥P?ABCDEF的底面是正六边形，PA?平面ABC,PA?2AB则下列结论正确的是 （ ）

A. PB?AD B. 平面PAB?平面PBC

C. 直线BC∥平面PAE D. 直线PD与平面ABC所成的角为45° 3.如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（ ） ．．A．O?ABC是正三棱锥 B．直线OB∥平面ACD

?

?C．直线AD与OB所成的角是45 D．二面角D?OB?A为454.如图，若正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面连长为2，高 为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.

5、在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、的中点，在APMC中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满

OB、OC、OD足向量（不含边界）面BCC1

??????????????OG?OE?OF的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外

的概率为 。

6.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平

（Ⅰ）证明：AB=AC

（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小 A1

B1

D E

A

B C1

C 立体几何小练习（3）参考解答

1. 【答案】C【解析】由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面

PQMN，故B正确； 异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确；综上C是错误的，故选C. 2.【答案】D 【解析】∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB?平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD, ∴直线BC∥平面PAE也不成立。在Rt?PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°. ∴D正

确

3. 【答案】B 【解析】将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B

4.【答案】arctan5 【解析】因为AD∥A1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所在角，即∠A1D1B，由勾股定理，得A1B＝25，tan∠A1D1B＝5，所以，∠A1D1B＝arctan5。

5、解析：由题意知，G点共有16种取法，而只有E为P、M中一点，F为Q、N中一点时，落在平行四边形内，故符合要求的G的只有4个，因此概率为

3， 41B1B，从而EFDA。 2连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面BCC1，故AF⊥平面BCC1，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂

6.解析：解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF

直平分线，所以AB=AC。

0.

（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=60.

2。又AB=2，BC=22，故AF=2。 32由AB?AD?AG?BD得2AD=.AD2?22，解得AD=2。

3设AC=2，则AG=故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。连接CH，则∠ECH为B1C与平面BCD所成的角。. 因ADEF为正方形，AD=2，故EH=1，又EC=

1B1C=2，所以∠ECH=300，即B1C与平面BCD所成的角为300. 2解法二：（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。

??1b1b设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则B1（1，0，2c）,E（，，c）.于是DE=（，，0），BC=（-1，

2222b,0）.由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC， DE?BC=0，求得b=1，所以 AB=AC。 （Ⅱ）设平面BCD的法向量AN?(x,y,z),则AN?BC?0,AN?BD?0.又BC=（-1，1，

0），

??????????x?y?01?1BD=（-1，0，c）,故? 令x=1, 则y=1, z=,AN=(1,1, ).又平面ABD的

cc??x?cz?0?法向量AC=（0，1，0）由二面角A?BD?C为60°知，AN，AC=60°， 故 AN?AC?AN?AC?cos60°，求得c?12?1，2）（1，1，2）于是 AN? ， CB1?(1，

cosAN，CB1?AN?CB1AN?CB1?1， 2

AN，CB1?60°

所以B1C与平面BCD所成的角为30°