2019高考数学二轮复习 专题八 选考4系列选讲 2.8.1 坐标系与参数方程学案 理

是的是的广泛广泛2.8.1 坐标系与参数方程

1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＋2ρcosθ－3＝0.

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

[解] (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为 (x＋1)＋y＝4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆． 由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线． 记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.

由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且

2

2

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l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

|－k＋2|

当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝

k2＋144

－或k＝0，经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共33点，l2与C2有两个公共点．

当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以

|k＋2|

k2＋1

＝2，故k＝0

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或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．

33

4

综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.

3

??x＝cosθ，

2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为?

?y＝sinθ?

(θ

为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

(1)求α的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程． [解] (1)⊙O的直角坐标方程为x＋y＝1. π

当α＝时，l与⊙O交于两点．

2

π

当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当

2

2

2

呵呵复活复活复活 是的是的广泛广泛?2??π，π?或α∈?π，3π?.

<1，解得k<－1或k>1，即α∈???42??22

4??????1＋k?

?π3π?综上，α的取值范围是?，?.

4??4

(2)l的参数方程为

?x＝tcosα，

?

?y＝－2＋tsinα

π3π

(t为参数，<α<)．

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设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝＋1＝0.

于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.

tA＋tB2

，且tA，tB满足t－22tsinα

2

?x＝tPcosα，

又点P的坐标(x，y)满足?

?y＝－2＋tPsinα.

所以点P的轨迹的参数方程是 2

?x＝sin2α，?2?22

y＝－－cos2α??22

π3π

(α为参数，<α<)．

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1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．

2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．

呵呵复活复活复活