有理数 - 图文

优化解题过程、简化计算、解决问题的目的．

例6 计算下列各题．

(1)?55231?9?17?3； 6342(2)??(3)

15??317??3????59?59?59?；

77??5212??7111111111???????? 26122030425672901111111?…???(4)???.

248165121 0242 048分析：(1)带分数相加，可将带分数中整数部分与分数部分拆开分别相加． (2)本题若按常规计算方法比较麻烦，但若用运算律可简化运算．

11111111111??1?， ???， ???， 21?2262?323123?43411111111111111111111???，???，???，???，???，204?545305?656426?767567?878728?9891111???，所以将原算式变形裂项后，再进行计算． 909?109101(4)算式中，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍，可在算式中加上最后一个分数，再减去

2 04811，加上的与前一个分数运算，所得的和再与前一个分数运算，依次向前进行，最终求得运算结果． 2 0482 0485231解：(1)原式＝-5-?9??17??3?

6342(3)由于

11?5231??(-5-9+17-3)????????0-1??1；

44?6342?(2)??15??317??3????59?59?59?

77??5212??73??1??5???317???????????59+???59+???59+??

7??7??7???5212???315??317?????????59+?59-?59+?

777??5212???317???315?????????(59-59+59)?????? ?5212???777???317????????59+1? ?5212?用心 爱心 专心 5

317??60-?60-?60=36-30-35=-29. 5212111111111????????(3)原式? 1?22?33?44?55?66?77?88?99?10?1??11??11??11??11??11??11??11???1?????????????????????????????? ?2??23??34??45??56??67??78??89?19? 1010111111111111?...????????? (4)原式＝???24816102420482048204824816111111111???????...???? 10241024204824816512204811112 047????1??.

222 0482 0482 048?1?点拨

利用规律特点，灵活解分数计算题，需要认真观察，注意经常训练，提高思维的灵活性． 题型五 有理数运算的应用

用正负数可以表示相反意义的量，有理数的运算在生活中的应用十分广泛，其中，有理数的加法、减法及乘法运用较多．做题时，要认真分析，列出算式，并准确计算．

例7 有8箱橘子，以每箱15千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，现记录如下(单位：千克)：1．2，-0．8，2．3，1．7，-1．5，-2．7，2，-0．2，则这8箱橘子的总重量是多少?

分析：本题运用有理数的加法、乘法解决问题．先求出总增减量，再求出8箱橘子的总标准重量，两者之和便为这8箱橘子的实际总重量．

解析：1．2+(-0．8)+2．3+1．7+(-1．5)+(-2．7)+2+(-0．2) ＝1．2-0．8+2．3+1．7-1．5-2．7+2-0．2

＝(2．3+1．7+2)+(-0．8-2．7-1．5)+(1．2-0．2)

＝6-5+1＝2．

则15×8+2＝122(千克)．

答案：这8箱橘子的总重量是122千克．

例8 一货车为一家摩托车配件批发部送货，先向南走了8千米，到达“华能”修理部，又向北走了3．5千米，到达“捷达”修理部，继续向北走了7．5千米，到达“志远”修理部，最后又回到批发部．

(1)以批发部为原点，以向南方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，你能够在数轴上表示出“华能”“捷达”“志远”三家修理部的位置吗?

(2)“志远”修理部距“捷达”修理部多远? (3)货车一共行驶了多少千米?

解：(1)能．如图1-6-1所示．

(2)由数轴可知“志远”修理部距“捷达”修理部4．5-(-3)＝4．5+3＝7．5(千米)． (3)货车共行驶了|8|+|-3．5|+|-7．5|+|3|＝8+3．5+7．5+3＝22(千米)． 题型六 探索数字规律

用心 爱心 专心 6

找数字规律的题目成为近几年中考的热点问题，这类题目灵活多变．解题时要认真观察、分析思考，找出规律，并运用规律解决问题．

例9 某种细菌在繁殖过程中，每半小时分裂一次，由一个分裂成两个，2．5小时后，这种细菌可分裂为( ) A．8个 B．16个 C．32个 D. 64个

解析：本题数字的规律是1→2→4→8?，每半小时细菌个数变为原来的2倍，所以经过2．5小时，细菌个数应变为原来的2倍，即32个．

答案：C

例10 观察图1-6-2，寻找规律，在“?”处应填上的数字是( ) A．128 B．136 C．162 D．188

解析：观察图个数字特点可发现：8＝4+2+2；14＝8+4+2； 26＝14+8+4；?．所以“?”＝88+48+26＝162． 答案：C

思想方法归纳

本章中所体现的数学思想方法主要有：

1．数形结合思想：在本章中，自始至终利用数轴来定义或描述有理数的概念和运算，数轴成为理解有理数及其运算的重要工具．这种把数与形(图形或数轴)结合起来进行研究的思想方法，是学习数学的重要思想方法． 2．分类讨论思想：a与-a哪个大呢? a的绝对值等于什么?在本章中，我们都是通过分类讨论解决问题，分类讨论可以把一个复杂的问题分成若干个较简单的问题来处理，这是数学中处理问题的一种重要思想方法．不重复、不遗漏是对分类讨论提出的基本要求．例如，我们常把有理数分成正有理数、负有理数和零三类，如果遗漏了零，只考虑正有理数和负有理数两种情况，就会犯错误．

3．转化思想：有理数的加法是通过符号法则转化为绝对值(小学所学的数)的加减法进行的；有理数的减法是通过转化为加法进行的；有理数的除法是通过转化为乘法，或者说有理数的乘除法是通过符号法则转化为绝对值的乘除法进行的．

1．数形结合思想

数轴是数形结合的重要工具，涉及含字母或绝对值符号的问题，借助数轴往往有利于问题的迅速解决． 例1 |a|＞|b|，a＞0，b＜O，把a、b、-a、-b按由小到大的顺序排列． 分析：将a、b、-a、-b在数轴上对应点的位置找出来，就可以比较大小了．

解：由a＞0，b＜0可知，a为正数，b为负数，a、b所对应的点分别在数轴上原点的右边和左边.

由于|a|＞|b|，从绝对值的几何意义可知，表示数a的点离原点的距离比表示数b的点离原点的距离远，而互为相反数的两个数绝对值相等，即|a|＝|-a|，|b|＝|-b|，于是a、b、-a、-b在数轴上的位置如图1-6-3所示．

故由小到大的顺序排列为-a＜b＜-b＜a． 提示

比较数的大小，可在数轴上把这些对应点表示出来，按从左到右的顺序确定后，就能写出这些数的大小关系．从本例看，我们还可以进一步得到-a＜b＜0＜-b＜a．

用心 爱心 专心

7

5

例2 有理数a、b在数轴上对应点的位置如图l-6-4所示，则必有( ) A．a+ b＞0 B．a- b＜o C．a b＞0 D.

a＜0 ba-b＞0，ab＜0，解析：由数轴可知0＜a＜1，b＜-l＜0且|b|＞|a|，因此有a+b＜0 ab＜0．故选D．

答案：D 点拨

本题要注意读懂图形(数轴)，掌握数轴上点的性质，还要注意有理数的四则运算法则． 2．分类讨论思想

例3 比较2 a与-2 a的大小．

分析：由于a可能为正数，也可能为负数和0，所以应分a＞0，a＜0，a＝0三种情况讨论．

解：当a＞0时，2 a＞-2 a；当a＜0时，2 a＜-2 a；当a＝0时，2 a＝-2 a． 规律

解此类题时用分类讨论的思想方法来完成． 3．转化思想

333333

例4 计算：l+2+3+4+?+99+100的值．

分析：直接求解，当然不行，必须探索规律，将运算进行转化．

333223332233332

解：∵l＝1，1+2＝9＝3＝(1+2)，1+2+3＝36＝6＝(1+2+3)， 1+2+3+4＝100＝(1+2+3+4)，?，

3333332

由此可知1+2+3+4+?+99+100＝(1+2+3+4+?+99+100)

?(1+100)?100?2＝?＝5 050＝25 502 500． ?2??点拨

利用转化思想可将“复杂问题”转化为“简单问题”，把“陌生”问题转化为“熟悉”的知识解决．本题中把“立方”运算转化为“平方”运算，把“求和”运算转化为“乘方”的运算．

4．用“赋值法”解题

在做选择题和填空题时，问题的结论如果运用法则、定义等推导，有些题容易，而有些题很复杂，对于那些推导过程比较复杂的题目可采取“赋值法”，这样就能又快又准地得出结论．

例5 m-n的相反数是( )

A．-( m + n) B．m+ n C．m- n D．-( m - n)

解析：可设m＝2，n＝1，则m - n＝1．又-( m + n)＝-3，m+ n＝3，m- n＝1，-( m- n)＝-1．故选D． 答案：D 点拨

赋值时取值要符合题意，但又不能特殊，本题中m，n不能取0，得出结论后再用其他值试一试，如：m＝3，n＝-2等．

例6 如果a＞0，b＜0，|a|＞| b|，那么a+ b 0，a- b 0．(填“＞”或“＜”) 解析：由前提条件设a＝3，b＝-1，则a+b＝2，a-b＝4． 答案：＞ ＞

例7 若

2x?yx?y中的x，y都扩大到原来的5倍，则的值( ) x?yx?y用心 爱心 专心 8