2017年高考文科数学全国2卷(附答案)

12B-SX-0000011

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，

按所做的第一题计分。 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

23.[选修4-5：不等式选讲]

已知a?0，b?0，a3?b3?2.证明： 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，（1）?a?b??a5?b5??4；

曲线C1的极坐标方程为?cos??4.

（2）a?b?2. （1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足OM?OP?16，求

点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为???2,??3??，点B在曲线C2上，求?OAB面积的最大值.

- 9 - - 10 -

12B-SX-0000011

2017年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学 全国II卷 参考答案

一、选择题

1. A 2. B 3. C 4. A 5. C 6. B 7. A 8. D 9. D 10. B 11. D 12. C 二、填空题

13.

5

14. 12

15. 14π.

16.

?3

三、解答题 17.（12分） 解：设

的公差为d，

的公比为q，则an??1?(n?1)db,n?qn?1.由a2?b2?2得

d?q?3.

①

（1）由a3?b3?5得

2d?q2?6

②

联立①和②解得??d?3,?d?1,?q?0（舍去），??q?2.

因此

的通项公式bn?1n?2

（2）由bT21?1,3?21得q?q?20?0.

解得q??5,q?4

当q??5时，由①得d?8，则S3?21.

- 11 -

当q?4时，由①得d??1，则S3??6. 18.(12分)

解：

（1）在平面ABCD内，因为?BAD??ABC?90，所以BC//AD.

又BC?平面PAD,AD?平面PAD，

故BC//平面PAD

（2）取AD的中点M，连结PM,CM.

由AB?BC?12AD及BC//AD，?ABC?90

得四边形ABCM为正方形，则

CM?AD.

因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面

ABCD?AD， 所以PM?AD,PM?底面ABCD. 因为CM?底面ABCD，所以PM?CM.

设BC?x，则CM?xCD,?xPM2,xP?C3,PDx??2.取CD的中

点N，连结PN，则PN?CD，所以PN?142x - 12 -

12B-SX-0000011

114x?27， 因为?PCD的面积为27，所以?2x?22解得x??2（舍去），x?2.

20.（12分） 解：

（1）设P(x,y)，M(x0,y0)，

于是AB?BC?2,AD?4,PM?23. 所以四棱锥P?ABCD的体积V?13?2(2?4)2?23?43 19.（12分） 解：

（1）旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

(0.012?0.014?0.024?0.034?0.040)?5?0.62

因此，事件A的概率估计值为0.62 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 2K2?200?（62?66?34?38）100?100?96?104≈15.705

由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg到55kg之间，旧养殖法的箱产量平均值（或中位数）在45kg到50kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.

- 13 - 则N(x0,0),NP?(x?x0,y),NM?(0,y0) 由NP?2NM得

x20?x,y0?2y 因为M(xx2y20,y0)在C上，所以2?2?1 因此点P的轨迹方程为x2?y2?2 2）由题意知F(?1,0)

设Q(?3,t),P(m,n)，则

OQ?(?3,t),PF?(?1?m,?n),OQPF?3?3m?tn， OP?(m,n),PQ?(?3?m,t?n)

由OQPQ?1得?3m?m2?tn?n2?1 又由（1）知m2?n2?2，故

3?3m?tn?0

所以OQPF?0，即OQ?PF. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，

所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

- 14 -

（ 12B-SX-0000011

（21）（12分） 解：

（1）f?(x)?(1?2x?x2)ex

令f?(x)?0得x??1?2,x??1?2 当x?(??,?1?2)时，f?(x)?0； 当x?(?1?2,?1?2)时，f?(x)?0； 当x?(?1?2,??)时，f?(x)?0.

所以f(x)在(??,?1?2),(?1?2,??)单调递减，(?1?2,?1?2)单调递增.

（2）f(x)?(1?x)(1?x)ex

当a?1时，

设函数h(x)?(1?x)ex,h?(x)??xex?0(x?0)， 因此h(x)在[0,??)单调递减， 而h(0)?1，故h(x)?1，

所以f(x)?(x?1)h(x)?x?1?ax?1 当0?a?1时，

设函数g(x)?ex?x?1,g?(x)?ex?1?0(x?0)，

- 15 -

所以g(x)在[0,??)单调递增， 而g(0)?0，故ex?x?1 当0?x?1时，

f(x)?(1?x)(1?x)2，(1?x)(1?x)2?ax?1?x(1?a?x?x2），

取x5?4a?10?2，

则x(0,1),(1?x?x20?0)(10)?ax0?1?0，

故f(x0)?ax0?1 在

当a?0时，

取x5?10?2，则x20?(0,1),f(x0)?(1?x0)(1?x0)?1?ax0?1 综上，a的取值范围是[1,??).

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 解：

（1）设P的极坐标为(?,?)(??0)，M的极坐标为(?1,?)(?1?0).

由题设知|OP|??,|OM|??1?4cos? 由|OM||OP|?16得C2的极坐标方程??4cos?(??0) 因此C222的直角坐标方程为(x?2)?y?4(x?0)

- 16 -