2017_2018版高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理学案新人教A版

【解析】 扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝. 2

【答案】 C

4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．

【解析】 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长

之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.

【答案】 1∶8

13an5．已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝.

2an＋3(1)求a2，a3，a4，a5的值； (2)猜想an.

13×233a1

【解】 (1)a2＝＝＝，

a1＋317

＋32同理a3＝

3a2333

＝，a4＝，a5＝. a2＋38910

lr33333

(2)由a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，可猜想an＝.

2＋53＋54＋55＋5n＋5

学业分层测评 (建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．下列说法正确的是( )

A．由合情推理得出的结论一定是正确的 B．合情推理必须有前提有结论 C．合情推理不能猜想

D．合情推理得出的结论无法判定正误

【解析】 合情推理得出的结论不一定正确，故A错；合情推理必须有前提有结论，故B对；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D错．

【答案】 B

2．下面使用类比推理恰当的是( )

A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b” B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc” C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“

nnna＋bab＝＋(c≠0)” cccnnnD．“(ab)＝ab”类比推出“(a＋b)＝a＋b” 【解析】 由实数运算的知识易得C项正确． 【答案】 C

3．用火柴棒摆“金鱼”，如图2-1-7所示，

图2-1-7

按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A．6n－2 C．6n＋2

B．8n－2 D．8n＋2

【解析】 从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.

【答案】 C

4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )

A．一条中线上的点，但不是中心 B．一条垂线上的点，但不是垂心 C．一条角平分线上的点，但不是内心 D．中心

【解析】 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心． 【答案】 D

5．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是( )

A．(2,10) C．(3,5)

B．(10,2) D．(5,3)

【解析】 由题意，发现所给数对有如下规律： (1,1)的和为2，共1个； (1,2)，(2,1)的和为3，共2个； (1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；

(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个； (1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．

由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．

【答案】 A 二、填空题

6．观察下列特殊的不等式： 5－27

≥2×， 5－22

55

4－35?7?322≥×??， 4－32?2?88

9－28?11?5

?， 33≥×?9－23?2?2

2

9－55

55≥2×7， 9－5…

1010

as－bs由以上特殊不等式，可以猜测：当a>b>0，s，r∈Z时，有rr≥________.

a－b5－272?5＋2?2－1

【解析】 ≥2×＝×??，

5－221?2?

55

4－35?7?35?4＋3?5－2

?， 22≥×??＝×?4－32?2?2?2?88

9－28?11?58?9＋2?8－3

?＝×??， 33≥×?9－23?2?3?2?

2

2

9－510?9＋5?10－55

×??， 55≥2×7＝

9－55?2?

1010

as－bs由以上特殊不等式，可以猜测：当a>b>0，s，r∈Z时，有rr≥

a－bs?a＋b?s－r??. r?2?

【答案】 ?

s?a＋b?s－r? r?2?

2

7．二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr，观察发现S′＝

l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.

【解析】 因为V＝8πr，所以W＝2πr，满足W′＝V. 【答案】 2πr

4

3

4

43

8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝2.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________．

【解析】 结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝2可得，在{an}中，若

9

9

a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.

【答案】 a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9 三、解答题

21

9．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，

3SnS4，并猜想Sn的表达式．

【解】 先化简递推关系：n≥2时，an＝Sn－Sn－1， 1

∴Sn＋＋2＝Sn－Sn－1，

Sn1

∴＋Sn－1＋2＝0.

Sn2

当n＝1时，S1＝a1＝－.

3

143

当n＝2时，＝－2－S1＝－，∴S2＝－. S234154

当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－. S345165

当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－. S456猜想：Sn＝－

n＋1

，n∈N＋. n＋2

1

10．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：

AD2＝1

AB2＋1

AC2，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

【证明】 如图所示，由射影定理，得

AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC， AC2＝BC·DC，∴2＝ ADBD·DCBC2BC2

＝＝. BD·BC·DC·BCAB2·AC2

AB2＋AC211

又BC＝AB＋AC，∴2＝2. 2＝2＋

ADAB·ACABAC2

2

2

2

11

1