2014年黑龙江省大庆市中考数学试卷(含答案)

∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°， ∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°， ∴劣弧AC的长为：

=

．

点评：本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中． （2）中

求出∠AOC=135°是解题的关键． 27．（9分）（2014?大庆）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．

（1）求证：△ABC∽△BCD； （2）求x的值；

（3）求cos36°﹣cos72°的值．

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；黄金分割；解直角三角形． 专题：计算题． 分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出

∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；

（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；

（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果． 解答：解： （1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=36°，

∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BCD；

（2）∵∠A=∠ABD=36°， ∴AD=BD， ∵BD=BC，

∴AD=BD=CD=1，

设CD=x，则有AB=AC=x+1， ∵△ABC∽△BCD，

∴

=

，即

2

=，

整理得：x+x﹣1=0， 解得：x1=

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，x2=

（负值，舍去），

则x=

；

（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E， ∵BD=CD，

∴E为CD中点，即DE=CE=

，

在Rt△ABE中，cosA=cos36°===，

在Rt△BCE中，cosC=cos72°=则cos36°﹣cos72°=

﹣

=

=

=．

，

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质， 锐角三角函数定义，以及一元二次方程的解法，

熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 28．（9分）（2014?大庆）如图①，已知等腰梯形ABCD的周长为48，面积为S，AB∥CD，∠ADC=60°，设AB=3x．

（1）用x表示AD和CD；

（2）用x表示S，并求S的最大值；

（3）如图②，当S取最大值时，等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点E和点F分别是AB和CD的中点，求⊙O的半径R的值．

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考点：圆的综合题． 专题：综合题． 分析：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如图①，易得四边形AHGB为矩形，则

HG=AB=3x，再根据等腰梯形的性质得AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，设DH=t，根据含30度的直角三角形三边的关系得AD=2t，AH=t，然后根据等腰梯形ABCD的周长为48得3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8﹣x，于是可得AD=18﹣2x，CD=16+x；

2

（2）根据梯形的面积公式计算可得到S=﹣2x+8x+64，再进行配方得S=﹣

2

2（x﹣2）+72，然后根据二次函数的最值问题求解；

（3）连结OA、OD，如图②，由（2）得到x=2时，则AB=6，CD=18，等腰梯形的高为6，所以AE=3，DF=9，由于点E和点F分别是AB和CD的中点，根据等腰梯形的性质得直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴，所以EF垂直平分AB和CD，EF为等腰梯形ABCD的高，即EF=6，根据垂径定理的推论得等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上，设OE=a，则OF=6﹣a，在Rt△AOE中，利用勾股定理

222222

得a+3=R，在Rt△ODF中，利用勾股定理得（6﹣a）+9=R，然后消去R得

2222222

到a的方程a+3=（6﹣a）+9，解得a=5，最后利用R=（5）+3求解． 解答：解： （1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如图①，

则四边形AHGB为矩形， ∴HG=AB=3x，

∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴AD=BC，DH=CG，

在Rt△ADH中，设DH=t， ∵∠ADC=60°， ∴∠DAH=30°，

∴AD=2t，AH=t， ∴BC=2t，CG=t，

∵等腰梯形ABCD的周长为48，

∴3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8﹣x， ∴AD=2（8﹣x）=18﹣2x， CD=8﹣x+3x+8﹣x=16+x； （2）S=（AB+CD）?AH =（3x+16+x）?（8﹣x）

2

=﹣2x+8x+64，

2

∵S=﹣2（x﹣2）+72， ∴当x=2时，S有最大值72； （3）连结OA、OD，如图②，

当x=2时，AB=6，CD=16+2=18，等腰梯形的高为×（8﹣2）=6，

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则AE=3，DF=9，

∵点E和点F分别是AB和CD的中点， ∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴，

∴EF垂直平分AB和CD，EF为等腰梯形ABCD的高，即EF=6∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上， 设OE=a，则OF=6﹣a， 在Rt△AOE中，

222

∵OE+AE=OA， 222∴a+3=R， 在Rt△ODF中，

∵OF+DF=OD，

222

∴（6﹣a）+9=R， 2222

∴a+3=（6﹣a）+9，解得a=5

222

∴R=（5）+3=84， ∴R=2．

2

2

2

，

，

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论和等腰梯形的性质；会运用二次

函数的性质解决最值问题；熟练运用勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系进行计算．

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