数学模型C卷参考答案 2

《数学模型》C卷参考答案及评分标准

一、简答题（每题5分，共20分） 1、什么是数学模型？

答：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。（5分） 2、什么是Logistic模型？

答：Logistic模型即人口阻滞增长模型，是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口起阻滞作用下建立的模型。表达式如下：

dxdt?r?x?(1?xxm)（5分）

3、按照建立模型的数学方法可做几种典型分类？

答：初等模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型。（5分） 4、数学建模能培养学生哪些方面的能力？

答：丰富的想象力、敏锐的洞察力、类比法、理想化方法、直觉、灵感、数学运算逻辑推理能力。（5分） 二、甲、乙、丙三人经商，若单干，每人获利1元，甲、乙合作可获利7元，甲、丙合作可获利5元，乙、丙合作可获利4元，三人合作可获利10元，问三人合作时怎样合理分配10元收入。（16分） 解：依题意得：

甲、乙、丙三人记为I={1，2，3}，经商获利定义为I上的特征函数即：

v(?)?0,v(1)?v(2)?v(3)?1,v(1,2)?7，v(1,3)?5,v(2,3)?4,v(I)?10.

容易验证满足Shapley值条件。（10分）甲、乙、丙三人合作获利10元。用Shapley值作为效益分配，甲应分得的份额?1(v)的结果列入下表：

s v(s) v(s\\1) v(s)- v(s\\1) |s| w(s) w(|s|)[ v(s)- v(s\\1)] 得到

1 0 0 0 1 1/3 1/3 {1,2} 7 1 6 2 1/6 1 {1,3} 5 1 4 2 1/6 2/3 I 10 4 6 3 1/3 2 ?1(v)?4元。同理可以计算到 ?2(v)?3.5,?3(v)?2.5. 可以验证

?1(v)??2(v)??3(v)?10?v(I) ，于是甲、乙、丙三人获利分配分别对应为4、3.5、2.5元。

（10分）

三、生产安排（20分）

某工厂生产甲、乙两种产品，生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：

品种 甲 乙 原材料 （千克） ２ ３ 能源消耗 （百元） １ ６ 劳动力 （人） ４ ２ 利润 （千元） ５ ６ 现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为2000人，试安排生产任务（生产甲、乙产品各多少件）,使获得利润最大，并求出最大利润.

解：设安排生产甲产品x件，乙产品y件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为

maxS?5x?6ys.t.2x?3y?1400 x?6y?2400（10分）

4x?2y?2000x?0,y?0,x,y?Z模型的求解：

方法一：图解法.可行域为：由直线

l1:2x?3y?1400l2::x?6y?2400及x?0,y?0组成的凸五边形区域.

直线l:5x?6y?C在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l过l1与l3的交点时，S取最大值. 由

l3:4x?2y?2000

?2x?3y?1400 解得：x?400,y?200 ??4x?2y?2000Smax?5?400?6?200?3200（千元）(答略) （10分）

四、融雪时间（20分）

一个顶角为900的锥体状雪堆，其体积融化的速率与锥面面积S成正比，其比例系数为k(k?0).假设雪在融化过程中始终保持锥状.已知高为h0的雪堆在开始融化的1小时内，融化了其体积的

37.试求雪堆全部64融化需要的时间。

答：如图.假设雪在融化过程中始终为顶角为900的圆锥体.其高为h(t)，底面半径为r(t).（h(t)、r(t)均为时间t的函数）.于是h(t)?r(t).在时刻t时，圆锥体积、锥面面积分别为：

11V(t)??r2h??h3(t)

33S(t)??rl??h(t)h2(t)?h2(t)?2?h2(t)（1）

由假设条件，体积变化的微分方程模型为：

?dV(t)??ks(t)??dt??V(0)?1?h30或h?0??h0?3? ……（2）

?dh(t)??2k?再由（1）得：?dt（10分）

?h(0)?h0?45o

r

解得：h(t)?h0?2kt ? V(t)??(h0?2kt)3 又由已知条件 V(1)?(1?131337)V(0). 64133而 V(0)??h0 , V(1)??(h0?2k)3

?

12713?(h0?2k)3???h0 ? h0?42k 故h(t)3643?42k?2kt.

雪堆全部融化?h(t)?0

（10分） ?42k?2kt?0 得 t?4（小时）

五、截割方案（20分）

有一批１米长的合金钢材.现要截割成长为２７厘米和１５厘米两种规格.试确定截割方案（即一根１米长的钢材截几根２７厘米和几根１５厘米的材料），使钢材利用率最高.并求出最高利用率. 解：设1米长的钢材截27厘米的x根,15厘米的y根.则此问题的数学模型为:

??max?? ?s.t.????27x?15yx,y?0,27x?15y100?100 （10分） x,y?Z 模型的求解:

方法1: 在区域x?0,y?0,0.27x?0.15y?1内确定出与直线l:0.27x?0.15y?1最近的格点； 方法2: 由y?100?27x穷举.

15求解结果: x?2,y?3.

最高利用率： ?max?27?2?15?3?99%.（10分）

100