大学物理课本答案习题 第十三章习题解答

习题十三

13-1 如题图13-1所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面，且导线框的一个边与长直导线平行，到两长直导线的距离分别为r1，

r2。已知两导线中电流都为I?I0sin?t，其中I0和?为常数，t为

时间。导线框长为a，宽为b，求导线框中的感应电动势。 解：无限长直电流激发的磁感应强度为B??0I2?r。取坐标Ox垂直于

题图13-1

直导线，坐标原点取在矩形导线框的左边框上，坐标正方向为水平向右。取回路的绕行正方向为顺时针。由场强的叠加原理可得x处的磁感应强度大小

B??0I2?(r1?x)??0I2?(r2?x)

x 解图13-1

x 方向垂直纸面向里。

通过微分面积dS?adx的磁通量为

??0I?0I?d?m?B?dS?BdS????adx

2?(r?x)2?(r?x)?12?通过矩形线圈的磁通量为

b??0I?0I??0a?r1?br2?b??m????adx?ln?ln??I0sin?t ?02?(r?x)2?(r2?x)?2??r1r2??1感生电动势

?i??????a?r?bd?mr?b???0?ln1?ln2?I0cos?t dt2??r1r2??0?a?(r?b)(r2?b)?I0?ln1?cos?t 2?r1r2???i?0时，回路中感应电动势的实际方向为顺时针；?i?0时，回路中感应电动势的实际方向

为逆时针。

13-2 如题图13-2所示，有一半径为r=10cm的多匝圆形线圈，匝数N=100，置于均匀磁场B中（B=0.5T）。圆形线圈可绕通过圆心的轴O1O2转动，转速n?600r?min。求圆线圈自图示的初始位置转过

题图13-2

·1·

?1

?/2时，

(1) 线圈中的瞬时电流值（线圈的电阻为R=100?，不计自感）； (2) 圆心处磁感应强度。

解：(1) 圆形线圈转动的角速度?=2?n?20?(rad?s?1)。设t?0时圆形线圈处在图示位置，602取顺时针方向为回路绕行的正方向。则t时刻通过该回路的全磁通 ??NB?S?NBScos?t?NB?rcos?t 感应电动势

?i??感应电流

2NB?r?sin?t? Ii? RRd??NB?r2?sin?t dt?i将圆线圈自图示的初始位置转过?/2时，?t??2，代入已知数值得

Ii?0.99A

(2) 感应电流在圆心处产生的磁感应强度的大小为

Bi?N?0Ii2r?6.22?10?4T

Bi的方向与均匀外磁场B的方向垂直。

13-3 均匀磁场B被限制在半径R=10cm的无限长圆柱形空间内，方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路ABCD，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如题图13-3所示。设磁场以

dB??1T?s?1的匀速率增加，已知OA?OB?6cm，??，求等dt3腰梯形回路ABCD感生电动势的大小和方向。

解：设顺时针方向为等腰梯形回路绕行的正方向.则t时刻通过该回路的磁通量

题图13-3

?m?B?S?BS，其中S为等腰梯形ABCD中存在磁场部分的面积，其值为

S?感应电动势

121R??(oa)2sin? 221d?mdB?1?dB???R2??(oa)2sin????S

22dtdtdt???i??代入已知数值得

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?3 ?i??3.68?10V

“–”说明，感应电动势的实际方向为逆时针，即沿ADCBA绕向。用楞次定律也可直接判断感应电动势的方向为逆时针绕向。

13-4 如题图13-4所示，有一根长直导线，载有直流电流I，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度v沿垂直于导线的方向离开导线.设t=0时，线圈位于图示位置,求： (1) 在任意时刻t通过矩形线圈的磁通量?m； (2) 在图示位置时矩形线圈中的电动势?i。

题图13-4

解：(1) 设线圈回路的绕行方向为顺时针。由于载流长直导线激发磁场为非均匀分布

B??0I 2?x因此，必须由积分求得t时刻通过回路的磁通量。取坐标Ox垂直于直导线，坐标原点取在直导线的位置，坐标正方向为水平向右，则在任意时刻t通过矩形线圈的磁通量为

?m??B?dS??Sb?vta?vt?0I?Ilb?vt ldx?0ln2?x2?a?vt（2）在图示位置时矩形圈中的感应电动势

?i??d?mdt?t?0?0Ilv(b?a)

2?ab感应电动势的方向沿顺时针绕向。

13-5 如题图13-5所示为水平面内的两条平行长直裸导线LM与L?M?,其间距离为l,其左端与电动势为?0的电源连接.匀强磁场B垂直于图面向里，一段直裸导线AB横嵌在平行导线间（并

可保持在导线上做无摩擦地滑动）并使电路接通，由于磁场力的作用，AB从静止开始向右运动起来。求：

题图13-5

(1) AB达到的最大速度;

(2) AB到最大速度时通过电源的电流I。 解：（1）电路接通，由于磁场力的作用, AB从静止开始向右运动起来。设AB运动的速度为

v,则此时直导线AB所产生的动生电动势?i?Blv，方向由b指向a.由全电路欧姆定理可得

此时电路中的电流为

i?速度为

?0?BlvR

AB达到的最大速度时，直导线AB不受到磁场力的作用，此时i?0。所以AB达到的最大

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vmax??0Bl

（2）AB达到的最大速度时，直导线AB不受到磁场力的作用，此时通过电路的电流i=0。所以通过电源的电流也等于零。

13-6 如题图13-6所示，一根长为L的金属细杆AB绕竖直轴O1O2以角速度?在水平面内旋转，O1O2在离细杆A端L/5处。若已知均匀磁场B平行于O1O2轴。求AB两端间的电势差UA?UB. 解：设金属细杆AB与竖直轴O1O2交于点O,将AB两端间的动生电动势看成AO与OB两段动生电动势的串联。取OB方向为导线的

题图13-6

正方向，在铜棒上取极小的一段微元dl，方向为OB方向。微元运

动的速度大小为v?l?。由于v,B,dl互相垂直。所以dl两端的动生电动势为

d?i?(v?B)?dl??vBdl??B?ldl

OB的动生电动势为

2?OB??d?i??AB4L50116?4L???Bldl??B?????B?L2

250?5?动生电动势?OB的方向由B指向O。同理OA的动生电动势为

?OA??d?i??BAL5011?L???Bldl??B?????B?L2

250?5?2动生电动势?OA的方向由A指向O。所以AB两端间的的动生电动势为

?AB??AO??OB???OA??OB??3B?L2 10动生电动势?AB的方向由A指向了B；A端带负电，B端带正电。 AB两端间的电势差

UA?UB??AB??B端电势高于A端。

13-7如题图13-7 所示 载有电流I的长直导线附近，放一半圆环MeN的导线与长直导线共面，其端点MN的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b，环心O与导线相距a．设半圆环以速度 v平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN两端的电势差UMN．

3B?L2 10·4·

题图13-7