平面向量的概念及线性运算（学生）

第1讲 平面向量的概念及线性运算

【2014年高考会这样考】 1．考查平面向量的线性运算．

2．考查平面向量的几何意义及其共线条件． 【复习指导】

本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别．

基础梳理

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算

向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律： 求两个向量和的运加法 算 三角形法则 平行四边形法则 求a与b的相反向减法 量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) a－b＝a＋(－b) 1 / 7

3.向量的数乘运算及其几何意义

(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|；

②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则

①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

一条规律

一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 两个防范

(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)D是△ABC的边AB上的中点，则向量→CD等于( )． 1A．－→BC＋→BA

21C.→BC－→BA

2

1

B．－→BC－→BA

21D.→BC＋→BA

2

2．判断下列四个命题：

①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|. 正确的个数是( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )． A.→EF＝→OF＋→OE B.→EF＝→OF－→OE C.→EF＝－→OF＋→OE D.→EF＝－→OF－→OE 解析 →EF＝→EO＋→OF＝→OF－→OE.

→→→

4．(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝( )．

A．0 C.→AD

B.→BE D.→CF

5．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________.

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考向一 平面向量的概念

【例1】?下列命题中正确的是( )． A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线

B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D．有相同起点的两个非零向量不平行

解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于

透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：(1)模相等；(2)方向相同． 【训练1】 给出下列命题：

①若A，B，C，D是不共线的四点，则→AB＝→DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

②若a＝b，b＝c，则a＝c；

③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；

④若a与b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等． 其中正确命题的序号是________．